在包含截距的一元普通最小二乘回归中，决定系数 $R^2$ 等于皮尔逊相关系数 $r$ 的平方。但这个结论有明确前提，不能直接推广到所有回归模型。 问题设定设观测值为 $Y_i$，使用单个变量 $X_i$ 拟合： $$Y_i=\hat{Y}_i+e_i,\qquad \hat{Y}_i=aX_i+b$$ 总离差平方和、回归平方和与残差平方和分别为： $$SST=\...

PMM 是 Pacific Meridional Mode，即太平洋经向模态。它描述热带及副热带太平洋海表温度与近地面风场共同变化的一类海气耦合模态。 PMM 的基本结构PMM 的典型空间结构具有经向不对称性，常表现为东北副热带太平洋的海表温度距平以及与之配合的低层风场距平。海表温度、信风和海气潜热通量之间可以形成反馈，使异常向热带传播或维持。 PMM 指数如何得到PMM 指数常通过海表温度...

DGPI 和 PDI 都用于热带气旋研究，但回答的问题完全不同：DGPI 描述大尺度环境是否有利于热带气旋生成，PDI 则累计已经出现的热带气旋所耗散的功率。 DGPIDGPI 是 Dynamical Genesis Potential Index，即动力生成潜势指数。它把多个大尺度动力环境量组合起来，用于衡量某一区域和时段的环境是否有利于热带气旋生成。 原笔记所用形式包含以下变量： $V...

潜在强度用于估计给定海洋和大气热力环境下，热带气旋能够达到的理论强度上限。它不是实际强度预报，因为风切变、干空气、内核结构和海洋冷却等过程都可能使实际强度低于这一上限。 PI 与 MPIPI 是 Potential Intensity，MPI 是 Maximum Potential Intensity。文献中的命名和具体实现可能不同，但二者通常都指热带气旋在理想化热力平衡下的潜在最大强度。一...

绝对角动量描述空气绕台风中心旋转时携带的角动量；惯性稳定度则描述旋转系统抵抗径向位移的能力。二者共同帮助理解台风内核为何能够维持紧凑结构。 绝对角动量在轴对称、梯度风近似下，单位质量空气相对于台风中心的绝对角动量可写成： $$M=rv+\frac{1}{2}fr^2$$ 其中 $r$ 是距台风中心的半径，$v$ 是切向风，$f$ 是科氏参数。第一项来自相对于地球的旋转风，第二项来自...

水平风场既可能表现为旋转，也可能表现为辐合和辐散。流函数与速度势提供了一种常用分解方式：前者描述旋转部分，后者描述辐散部分。 风场分解水平风可以写成： $$\mathbf{V}=\mathbf{V}{\psi}+\mathbf{V}{\chi}$$ 其中 $\mathbf{V}{\psi}$ 是旋转风，$\mathbf{V}{\chi}$ 是辐散风。 流函数二维流函数通常记为 $\...

比湿、水汽混合比和相对湿度都描述空气中的水汽，但它们回答的问题并不相同。 比湿比湿 $q$ 是水汽质量与湿空气总质量之比： $$q=\frac{m_v}{m_d+m_v}$$ 其中 $m_v$ 是水汽质量，$m_d$ 是干空气质量。常用单位为 $\mathrm{g\,kg^{-1}}$。 比湿主要回答：“这团湿空气中实际含有多少水汽？”在没有凝结、蒸发和空气掺混时，气块的比湿近似守...

“绝热”并不等于温度不变。它只表示系统与外界没有热量交换；气块仍然可以因膨胀做功而降温，或因压缩而升温。 绝热过程绝热过程满足 $dq=0$。在大气中，上升气块进入较低气压环境并膨胀，因此温度降低；下沉气块受到压缩，因此温度升高。 绝热近似适用于气块垂直运动较快、来不及与环境通过辐射或传导充分交换热量的情况。 干绝热过程干绝热过程发生在未饱和空气中，没有水汽凝结和显著潜热释放。气块...

热力学定律描述能量如何守恒、过程为何具有方向性，以及低温极限下系统的性质。大气中的加热、膨胀、凝结和辐射过程都受到这些定律约束。 热力学第一定律第一定律是能量守恒在热力过程中的表达：能量不会凭空产生或消失，只能在内能、功和热量之间转换。 对单位质量空气，常写成： $$dq = du + p\,d\alpha$$ 其中 $dq$ 是空气获得的热量，$du$ 是内能变化，$p$ 是气压...